Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia
Considere a função em que é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que o plano tangente ao gráfico de no ponto contém a origem.
Passo 1
Vamos lá... Por enquanto ignoremos a parte do “mostre que”. Por que? Bom, por que pra mostrar que o plano tangente tem ou não qualquer coisa, primeiro precisamos dele! Foquemos então em encontrar esse plano tangente :)
Sabemos que o plano tangente é definido pelo produto escalar entre o vetor gradiente da superfície e os vetores do próprio plano. Então, vamos começar calculando as derivadas parciais e formando o vetor gradiente!
Nossa função é:
Então, podemos dizer que:
Derivando-a em relação a , usaremos a regra do produto entre e , além da regra da cadeia para derivar :
Derivando agora em relação a , usando apenas a regra da cadeia,
E a derivada em relação a é , por que ele tá sozinho ali no canto com um “menos” na frente.
Montando o vetor gradiente, temos:
Passo 2
Agora vamos colocar o ponto dado pelo enunciado, , no vetor gradiente:
Ajeitando e lembrando que ,
Show, agora temos o vetor gradiente exatamente como usaremos na equação do plano tangente :D
Passo 3
Tendo o no ponto que precisamos, só fazer o produto escalar entre ele e o vetor genérico do plano . Sabendo que , então a equação do plano fica:
Passo 4
Agora vem o pulo do gato, que vai fazer você economizar um tempinho: a questão não está pedindo a equação do plano tangente, ela só pergunta se o plano passa ou não pela origem! Assim, tudo o que precisamos fazer é substituir por e ver se a equação continua fazendo sentido, ou seja, não podemos encontrar nada do tipo , em que é qualquer coisa diferente de , sacou?
Colocando os valores mencionados para e ,
Desenvolvendo o produto escalar,
Vamos que temos termos opostos, então o lado esquerdo da equação realmente se anula!
E aí esta, provamos que a origem está contida no plano tangente!
Resposta
A origem está contida no plano tangente.