USP – Cálculo 2 – Lista 3 – Questão 1.9
Mostre que os gráficos das funções e se intersectam no ponto e têm o mesmo plano tangente nesse ponto
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essas duas funções de duas variáveis
E pediu para mostrarmos que essas curvas se intersectam no ponto e têm o mesmo plano tangente nesse ponto!
Mas como mostrar tudo isso?
Vamos por partes! Para que os gráficos se intersectem eles precisam passar pelo mesmo ponto! Então precisamos mostrar que o mesmo ponto pertence aos dois gráficos! Aqui é só substituir o ponto nas funções e torcer para achar o mesmo valor!
Beleza?
E depois? Depois ele pede para mostrar que os planos tangentes nesse ponto são iguais, então precisamos achar os planos dos dois e comparar! Lembrando que a equação do plano tangente é
É isso! Bora lá?
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos começar calculando o valor do ponto em cada função e verificar que dá o mesmo valor
Beleza?
Mostramos a primeira parte!
Passo 3
Agora vamos calcular o plano tangente das funções!
Começando com
E sabemos que , assim nosso plano tangente fica
Tranquilo? Bora calcular o plano de ! Com temos
E o plano
E verificamos que os planos são iguais!
No ponto
Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!