PUC-RJ, Cálculo a Várias Variáveis I, P2, 2016.1, questão 1c
Considere a função
Encontre a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de em , explicitando o normal ao plano neste ponto.
Passo 1
Simples, apenas seguir o nosso passo-a-passo, lembra dele?
- Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície
- Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito
- Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação
- Calcular gradiente de :
- Calcular gradiente de no ponto :
- O vetor normal será
- Substituir na expressão do plano
Passo 2
Substituindo por na equação:
Jogando tudo para o lado esquerdo na equação e deixando zero no lado direito:
E chamando isso de
Passo 3
Show, agora, calculando o gradiente de :
Assim
Passo 4
No ponto de tangencia , temos
Segundo o item 6 do nosso passo a passo, esse é o vetor normal ao plano no ponto de tangencia.
Passo 5
O que falta para acharmos a equação do plano tangente agora é substituir na equação do plano. Vamos terminar essa bagaça então
Resposta
O vetor normal é
E a equação cartesiana do plano tangente é
Exercícios de Livros Relacionados
Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?
Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?
Mostre que a equação do plano tangente a elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 pode ser escrita como x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = 1
57 - Mostre que todo plano que é tangente ao cone z 2 = x 2 + y 2 passa pela origem.
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.3 – z = x y ,( 1,1 , 1 )