Calcule a derivada F ' ( x ) sendo dadas:

F x = ∫ 0 x ln ⁡ ( t 2 + 1 ) d t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função F ( x ) que é definida em termos de uma integral

F x = ∫ 0 x ln ⁡ ( t 2 + 1 ) d t

E pediu para calcularmos a derivada da função F ( x ) ! Como fazer isso?

Pelo teorema fundamental do cálculo!

Esse teorema nos diz que: se temos uma função F que é definida como uma integral

F x = ∫ a b f ( t ) d t

Temos que a derivada da função F ( x ) é o integrando aplicado nos limites de integração! Assim

F ' x = f a - f ( b )

Então a ideia é aplicar isso na função dada!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é

F x = ∫ 0 x ln ⁡ ( t 2 + 1 ) d t

Nosso integrando é f t = ln ⁡ ( t 2 + 1 ) , beleza? Aplicando o TFC temos

F ' x = ln ⁡ t 2 + 1 0 x

F ' x = ln ⁡ x 2 + 1 - ln ⁡ x + 1

F ' x = ln ⁡ x 2 + 1

E é isso!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

F ' x = ln ⁡ x 2 + 1

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