UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.1 – Questão 7c
Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função :
b)
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema nos deu uma função:
e pediu para calcularmos a derivada de ! Então vamos aplicar a derivada e ver o que surge:
E isso aqui tem cara de que?
De teorema fundamental do cálculo! Então a gente vai começar resolvendo a integral para descobrir quem é a função e depois a gente deriva a função encontrada. Beleza?
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Então partiu
.
Passo 2
A função dada no enunciado é igual a solução dessa integral aqui:
Essa não é uma integral tão trivial assim. Para resolvê-la teremos que usar o método da integração Por Partes.
Então vamos escolher
E
E precisaremos fazer
Então
Aplicando na fórmula, nossa integral se torna:
Agora podemos aplicar o Teorema Fundamental do cálculo substituindo os limites de integração no ligar de em nossa integral. Assim:
O que resolvendo teremos como:
Lembrando que essa integral era a nossa , então podemos dizer que
Agora basta derivar essa função em relação a como o enunciado pediu e nossa missão estará completa.
Passo 3
Assim, se
Devemos usar a regra do produto para a primeira parcela e derivar normalmente as demais:
Que simplificando se torna:
E esse é o nosso resultado.
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?