Calcule a derivada da função abaixo. Justifique sua resposta.

h x = ∫ 1 cos ⁡ x e 1 + t 4   d t

Passo 1

Fala galera, tudo na paz? Eu sei que é esquisito uma questão pedir pra gente derivar uma função que é definida por uma integral, então te pergunto: será que vamos precisar integrar primeiro pra depois derivar? Relaaaaxa, que não vamos não. Não se usarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz:

h x = ∫ a g x f t   d t

h ' x = f g x ∙ g ' x

Então pra acharmos nossa derivada temos três passos:

  1. Identificar a constante a e a função g x e garantir que elas estão na posição correta
  2. Identificar f t e substituir todos os t ' s dentro dela pela função g x inteirinha
  3. Multiplicar o resultado pela derivada de g x , isto é, g ' x

Bora lá?

Passo 2

A integral do nosso enunciado é:

h x = ∫ 1 cos ⁡ x e 1 + t 4   d t

Aqui nem precisamos esquentar a cabeça, porque se compararmos com o passo 1 , a constante e g estão na posição certa já, onde:

a = 1

g x = cos ⁡ x

Como a função dentro da integral é nosso f t , fazemos f g x assim ó:

f t = e 1 + t 4

g x = cos ⁡ x

⇒ f g x = e 1 + cos ⁡ x 4

E calulando a derivada, que é só o que falta:

g x = cos ⁡ x

g ' x = - sen ⁡ x

Ta na mão! A derivada h ' x será:

h ' x = - e 1 + cos 4 ⁡ x ∙ sen ⁡ x

Resposta

h ' x = - e 1 + cos 4 ⁡ x ∙ sen ⁡ x

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