Calcule a derivada F ' ( x ) sendo dadas:

F x = ∫ x 2 x arctan ⁡ t d t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função F ( x ) que é definida em termos de uma integral

F x = ∫ x 2 x arctan ⁡ t d t

E pediu para calcularmos a derivada da função F ( x ) ! Como fazer isso?

Pelo teorema fundamental do cálculo!

Esse teorema nos diz que: se temos uma função F que é definida como uma integral

F x = ∫ a b f ( t ) d t

Temos que a derivada da função F ( x ) é o integrando aplicado nos limites de integração! Assim

F ' x = f a - f ( b )

Então a ideia é aplicar isso na função dada!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é

F x = ∫ x 2 x arctan ⁡ t d t

Nosso integrando é f t = arctan ⁡ t beleza? Aplicando o TFC temos

F ' x = arctan ⁡ t x 2 x

F ' x = arctan ⁡ 2 x - arctan ⁡ x

Beleza?

E é isso!

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

F ' x = arctan ⁡ 2 x - arctan ⁡ x

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