UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 3 de Exercícios, Questão 3e
Calcule as derivadas das seguintes funções, utilizando para isso o Teorema Fundamental do Cálculo:
e)
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a derivada da função abaixo baseado no Teorema Fundamental do Cálculo:
Eitaaa, agora temos duas funções nos limites de integração!! E agora???
Bom... primeiro, antes de relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, podemos separar a integral da seguinte forma:
Onde é uma constante qualquer.
E, invertendo os limites de integração da primeira integral para que a função fique no limite superior (você vai já já entender hehe), temos:
Agora, vamos relembrar um pouquinho desse teorema!!
Passo 2
Seja uma função contínua no intervalo dada por:
Então a derivada é dada por:
Lembrando também que, pelo Teorema Fundamental do cálculo, temos que se for uma função contínua no intervalo . Então:
Agora é só aplicar para cada uma das duas integrais que foram separadas e depois somar as derivadas encontradas da seguinte forma:
E aí? Bora lá??!!
😉
Passo 3
Assim, analisando a primeira integral que encontramos, vemos que:
Fazendo , temos:
Sabendo disso, vamos considerar uma função que, a partir de que acabamos de encontrar, seja desse modo:
Perceba que colocamos os limites de integração tem uma constante no limite inferior e um no superior!
Passo 4
Pelo que foi apresentado no Passo 2, temos:
Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
Onde, pelo Teorema Fundamental do cálculo, podemos encontrar :
Por outro lado, sabemos que , portanto:
Já temos e . Agora, é só substituirmos para encontrarmos:
Agora vamos para a segunda derivada!!
Passo 5
Assim, analisando a primeira integral que encontramos, vemos que:
Fazendo , temos:
Sabendo disso, vamos considerar uma função que, a partir de que acabamos de encontrar, seja desse modo:
Perceba que colocamos os limites de integração tem uma constante no limite inferior e um no superior!
Passo 6
Pelo que foi apresentado no Passo 2, temos:
Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
Onde, pelo Teorema Fundamental do cálculo, podemos encontrar :
Por outro lado, sabemos que , portanto:
Já temos e . Agora, é só substituirmos para encontrarmos:
Agora vamos somar as derivadas!!
Passo 7
Aplicando os resultados de e de que encontramos, temos:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
