Teorema Fundamental do Cálculo
Calcule o limite:
Passo 1
O enunciado não tem muito mistério. É pedido o cálculo de um limite quando tende a .
A primeira vista, parece um problema de limite, porém, a expressão contém uma integral da forma:
Quando isso aparece, temos que pensar na primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo!
Passo 2
Vamos analisar o limite quando :
Numerador: . (Pela propriedade )
Denominador:
Assim, temos uma indeterminação do tipo . Quando isso acontece, devemos usar a Regra de L’Hospital. Basta derivar o numerador e o denominador.
Pronto! Para o numerador, usaremos a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 3
Vamos começar derivando o numerador, usando a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo.
Para usarmos, temos que conferir se é contínua. De fato, a função , é contínua.
Assim, a derivada do numerador é:
A derivada do denominador é simples:
Então: