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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

  1. Calcule f ' 0 , sabendo que

f x = ∫ 2 - 5 x x 2 + 3 cos ⁡ π ∙ t t d t

Passo 1

CUIDADO! Embora pareça um problema de integração, aqui você não precisa calcular nenhuma integral não!

Ué, mas como você sabe disso?

Porque ele está pedindo a derivada f ' em um ponto (no caso o 0 ), então a gente vai ter que calcular a derivada daquela função ali, beleza? Nada de integrar, heim!

Passo 2

Pois bem, mas como podemos derivar uma função integral?

Bem, aqui basta aplicar a fórmula de derivada desse tipo de integral (teorema de Leibniz) se lembra? Essa daqui oh

∫ g x h x f t d t ' = f h x ∙ h ' x - f g x ∙ g ' x

Aplicando a fórmula no nosso caso...

Passo 3

Por comparação, a gente tem que

f ' x = ∫ 2 - 5 x x 2 + 3 cos ⁡ π ∙ t t d t '

f h x aqui significa você substituir t pela função x 3 + 3

f t = cos ⁡ π ∙ t t     →                 f h x = cos ⁡ π ∙ x 2 + 3 x 2 + 3    

Fazendo o mesmo para a f g x ...

f t = cos ⁡ π ∙ t t     →                 f g x = cos ⁡ π ∙ 2 - 5 x 2 - 5 x

Jogando tudo na fórmula...

∫ 2 - 5 x x 2 + 3 cos ⁡ π ∙ t t d t ' = cos ⁡ π ∙ x 2 + 3 x 2 + 3 ∙ x 2 + 3 ' - cos ⁡ π ∙ 2 - 5 x 2 - 5 x ∙ 2 - 5 x '

Passo 4

Calculando aquelas derivadas lá....

∫ 2 - 5 x x 2 + 3 cos ⁡ π ∙ t t d t ' = cos ⁡ π ∙ x 2 + 3 x 2 + 3 ∙ 2 x - cos ⁡ π ∙ 2 - 5 x 2 - 5 x ∙ - 5

Prontinho, esse é a derivada da função f ( x ) ! Agora é só substituir o ponto que queremos e ser feliz

f ' x = 2 x cos ⁡ π ∙ x 2 + 3 x 2 + 3 - cos ⁡ π ∙ 2 - 5 x 2 - 5 x ∙ - 5     →

f ' 0 = 2 ∙ 0 ∙ cos ⁡ π ∙ 0 2 + 3 0 2 + 3 + 5 cos ⁡ π ∙ 2 - 5 ∙ 0 2 - 5 ∙ 0

Simplificando...

f ' 0 = 5 cos ⁡ π ∙ 2 2       →

f ' 0 = 5 cos ⁡ 2 π 2

Como cos ⁡ 2 π = 1 , teremos

f ' 0 = 5 ∙ 1 2

Resposta

5 2

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