UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios 12 – Questão 6
Se é contínua em , então o Teorema fundamental do Cálculo afirma que a derivada da função é igual a no intervalo . Vamos usar este resultado para calcular a derivada da função
- Verifique que, se e , então
- Use a regra da cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!
O problema nos deu essa função aqui
E na letra (b) pede para usar o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar a derivada de ! Esse teorema nos diz o seguinte:
Supondo:
Então a derivada de é
e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa função é
Do ponto de vista de uma função composta, aquele no limite superior pode ser encarado como uma outra função! Mais interna! Assim uma função de ‘fora’ seria
E aquele no superior seria nossa função mais interna: . Assim a função seria composta da com uma
E é isso!
Passo 3
Agora vamos analisar a derivada ! Como consideramos a como uma composição de duas funções: a derivada dela precisa ser feita através da Regra da Cadeia
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é o produto da função mais de forma (mantendo o argumento da dentro) pela derivada da função de dentro:
Beleza? No nosso caso a função mais de fora é e a de dentro é , então pela regra da cadeia
Então
Agora que entra o teorema fundamental do cálculo!! Precisamos relembrar desse resultado aqui
E pelo TFC temos que
Então a derivada de (uma função qualquer, não confundir com a nossa!) é
Então no nosso caso:
E a derivada:
Agora é só juntar tudo isso!
E é isso! Espero ter ajudado!