Derivada de Funções dadas por Integral

( c ) Seja g ( x ) a função definida para 0   <   x   <   π por

g ( x ) = ∫ 1 s i n ( x ) c o s ( t ) t d t

Calcule a derivada de g ( x ) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos

d g ( x ) d x

onde g ( x ) = ∫ 1 s i n ( x ) c o s ( t ) t d t definida para 0   <   x   <   π .

Como se trata de uma derivada de uma função que é uma integral vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo, que nos diz que sendo

F ( x ) = ∫ w ( x ) u ( x ) f ( t ) d t

então temos que a derivada é dada por

d F d x ( x ) = f ( u ) u ' ( x ) - f ( g ) w ' ( x )

Então vamos lá!

Passo 2

Então vamos primeiro calcular d g ( x ) d x , pelo teorema fundamental do cálculo

d g ( x ) d x = c o s ( s i n ( x ) ) s i n ( x ) d ( s i n ( x ) ) d x - c o s ( 1 ) 1 ( 0 ) = c o s ( s i n ( x ) ) s i n ( x ) c o s ( x )

Assim, temos que

d g ( x ) d x = c o s ( x ) s i n ( x ) c o s ( s i n ( x ) )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d g ( x ) d x = c o s ( x ) s i n ( x ) c o s ( s i n ( x ) ) .

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