Derivada de Funções dadas por Integral

( f ) Use o 1º TFC para calcular a derivada da função

y ( x ) = ∫ a r c t a n ( x ) 1 t + t     d t

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos

d y ( x ) d x

onde y ( x ) = ∫ a r c t a n ( x ) 1 t + t     d t .

Como se trata de uma derivada de uma função que é uma integral vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo, que nos diz que sendo

F ( x ) = ∫ w ( x ) u ( x ) f ( t ) d t

então temos que a derivada é dada por

d F d x ( x ) = f ( u ) u ' ( x ) - f ( g ) w ' ( x )

Então vamos lá!

Passo 2

Então vamos primeiro calcular d y ( x ) d x , pelo teorema fundamental do cálculo

d y ( x ) d x = 1 + 1   d ( 1 ) d x - a r t a n ( x ) + a r c t a n ( x )   d   a r c t a n ( x ) d x

Assim, como d   a r c t a n ( x ) d x = 1 1 + x 2 , temos que:

d y ( x ) d x = - a r t a n ( x ) + a r c t a n ( x )   1 + x 2 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d y ( x ) d x = - a r t a n ( x ) + a r c t a n ( x )   1 + x 2 .

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