- Para , determine .
- Considere e calcule .
Passo 1
a) Vou começar te dando um bizu: toda vez que você tem uma função definida por integral, o integrando é bem feinho e ele te pedir a derivada dessa função, você pensa logo na parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo! Olha só o que ele diz. Se:
Sendo uma constante e o extremo superior dessa integral o argumento de . A derivada disso fica:
Nossa, é só substituir em ? Isso mesmo! Vamos ver como funciona para o nosso caso!
Passo 2
Cara, quem é a nossa ? Ela tem essa cara:
E aí comparando com o TFC:
Repara que o argumento dela é o sozinho no extremo superior da integral e a gente tem que
Segundo esse teorema, se a gente só substituir o no lugar do , achamos a função da derivada:
E ele pediu o valor dessa derivada em , então é só substituir:
Passo 3
b) Aqui a gente tem o mesmo caso, né? Precisamos derivar uma função que é definida por uma integral. Então vamos usar o TFC aqui de novo. Nossa função tem essa cara:
Mas repara que o argumento de , ou seja, o extremo superior dessa integral, não é só , é . Então a gente vai dizer que é uma função composta. E como deriva função composta? Usando a regrinha da cadeia!
E como fica usar a regra da cadeia com o Teorema Fundamental do Cálculo? Cara, se a gente chamar:
Nossa função fica assim:
Aí a gente pode dizer que:
Sendo que:
Passo 4
E como é a regra da cadeia? A gente deriva a função de fora no ponto da de dentro e depois multiplica pela derivada da função de dentro, né? A função de fora é uma função definida por integral. Então para derivar ela, usamos o TFC como a gente viu no passo 1.
Só vamos substituir o extremo superior da integral (que no nosso caso vale ) em . Aí a derivada de fora no ponto da de dentro fica:
E aí falta a derivada da função de dentro, ou seja:
E aí a nossa derivada de , pela regra da cadeia, é o produto entre essas duas coisas
Passo 5
Mas ele quer essa derivada no ponto , aí substituímos esse valor de na nossa derivada:
Resposta
a)
b)