b ) Mostre que o gráfico da função F   : ] 0 , + ∞ [ → R dada por

F x = ∫ 1 1 / x 3 1 1 + t 4 + t - 4 3 d t - 3 ∫ x 0 t 8 1 + t 12 d t

É parte de uma reta. Determine o coeficiente angular dessa reta.

Passo 1

Se a derivada de F ( x ) for uma constante nós garantimos que essa é uma reta. Essa constante corresponderá justamente ao coeficiente angular da reta. E como derivar isso? Teorema Fundamental do Cálculo!

F x = ∫ 1 1 x 3 1 1 + t 4 + t - 4 3 d t - 3 ∫ x 0 t 8 1 + t 12 d t

= ∫ 1 1 / x 3 1 1 + t 4 + t - 4 3 d t + 3 ∫ 0 x t 8 1 + t 12 d t

Para derivar nós colocamos o limite que é função de x no lugar de t e multiplicamos o termo pela derivada dessa função de x :

= 1 1 + 1 x 3 4 + 1 x 3 - 4 3 1 x 3 ' + 3 x 8 1 + x 12 x '

= 1 1 + x - 12 + x 4 - 3 x 4 + 3 x 8 1 + x 12

= - 3 x 4 + x - 8 - 3 + 3 x 8 1 + x 12

= - 3 x 4 + x - 8 x 8 x 8 - 3 + 3 x 8 1 + x 12

= - 3 x 8 x 12 + 1 - 3 + 3 x 8 1 + x 12

= - 3

Bom, então F ( x ) é parte de uma reta com coeficiente angular valendo - 3 .

Resposta

C o e f i c i e n t e   a n g u l a r :   - 3

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