P3 – Cálculo 1 – Unicamp – 2022.2 – Questão 1
Questão 1
Seja
Calcule
Passo 1
Bom galera, essa é uma questão sobre o teorema fundamental do cálculo. Vem comigo, confia!
De acordo com esse teorema, podemos falar que:
Seja uma função que é dada como:
Se é uma função contínua no intervalo de integração, então temos que:
A nossa função nesse caso é uma função contínua, pois ela é dada por uma função trigonométrica contínua composta com um polinômio, e ambos são contínuos.
Tá, mas no nosso caso, o intervalo de integração não vai de até , mas sim de até . O que fazer?
Passo 2
O primeiro passo vai ser inverter os intervalos de integração, e para isso só precisamos multiplicar a integral por , de forma que teremos:
Então tá show, agora está mais parecido com o que temos no teorema fundamental do cálculo, mas ainda assim, não temos uma função no limite superior, temos uma e precisamos lidar com isso também.
Passo 3
O esquema aqui vai ser o seguinte:
Vamos chamar uma função nova que atende os requisitos do TFC.
De forma que sabemos pelo TFC que:
Agora repara só. A nossa função nada é mais do que a função só que no lugar do colocamos , certo?
Então, podemos fazer o seguinte:
Ou seja, se eu quero encontrar a derivada dessa função, como a se trata de uma função composta, eu posso aplicar a regra da cadeia, e assim vou ter:
Derivando em função de , teremos:
E por fim, derivando , teremos:
Resultando por fim em: