UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P4 - 2020.1, Questão 5
Seja:
e
Com números reais tais que , o valor de é:
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez vamos fazer uso do teorema fundamental do cálculo!!! Lembram dele?
Ele diz que se
Lembraram? Boa!
Além disso, podemos combinar esse teorema com a regra da cadeia, chegando na seguinte conclusão
Show? Então bora pra questão.
Sabendo que
e
Com números reais tais que , queremos o valor de
E aí como fazemos isso? Bem, precisamos fazer algumas análises. Primeiro se
Isso quer dizer que cresce de forma similar a , pois se cresce mais rápido, esse limite seria infinito, e se cresce mais devagar zero. Dessa forma,podemos concluir que para
Então temos que
onde quando
Essa é a parte mais difícil dessa questão. Agora, só precisamos utilizar o teoremoa fundamental do cálculo para descobrir
Passo 2
onde quando
Vamos derivar dos dois lados, e usar o teorema fundamental do cálculo
Como
Então
A parte que nos interessa é
Já que as outras parcelas zeram quando . Desenvolvendo a expressão acima temos:
Usando o fato que
Dessa forma, chegamos a conclusão que
Valor que está presente na alternativa
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊