Seja h x = ∫ 0 x 2 s e n e t d t .

  1. Encontre h ' x .

Passo 1

Vou começar te dando um bizu: toda vez que você tem uma função definida por integral, o integrando é bem feinho e ele te pedir a derivada dessa função, você pensa logo na parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo! Olha só o que ele diz. Se:

F x = ∫ c x f t d t

Sendo c   uma constante e o extremo superior dessa integral o argumento x de F x . A derivada disso fica:

F ' x = f x

Nossa, é só substituir x em t ? Isso mesmo! Vamos ver como funciona para o nosso caso!

Passo 2

Cara, quem é a nossa F x ? O h x , né? Aí ele tem essa cara:

h x = ∫ 0 x 2 s e n e t d t

Mas repara que o argumento de h x , ou seja, o extremo superior dessa integral, não é só x , é x 2 . Então a gente vai dizer que h x é uma função composta. E como deriva função composta? Usando a regrinha da cadeia!

E como fica usar a regra da cadeia com o Teorema Fundamental do Cálculo? Cara, se a gente chamar:

g x = x 2

Nossa função fica assim:

h x = ∫ 0 g x s e n e t d t

Aí a gente pode dizer que:

h x = f g x

Sendo que:

f x = ∫ 0 x s e n e t d t

Passo 3

E como é a regra da cadeia? A gente deriva a função de fora no ponto da de dentro e depois multiplica pela derivada da função de dentro, né? A função de fora é uma função definida por integral. Então para derivar ela, usamos o TFC como a gente viu no passo 1.

Só vamos substituir o extremo superior da integral (que no nosso caso vale g x = x 2 ) em t . Aí a derivada de fora no ponto da de dentro fica:

s e n e t = s e n e g x = s e n e x 2

E aí falta a derivada da função de dentro, ou seja:

g ' x = x 2 ' = 2 x

E aí a nossa derivada de h x , pela regra da cadeia, é o produto entre essas duas coisas:

h ' x = s e n e x 2 ⋅ 2 x = 2 x   s e n e x 2

Resposta

h ' x = 2 x   s e n e x 2

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