UFMG – Cálculo 1 – P5 – 2020.1
Seja função contínua tal que
O valor de é:
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?
Vamos primeiro entender essas paradas doidas que apareceram aí no enunciado, né! Bem, o enunciado tá nos dando uma dica de que se eu pegar e substituir por eu vou poder abrir minha . Então a ideia é: vamos substituir isso dentro da integral e depois resolver pra ver o que vai dar!!
Passo 2
Substituindo, vamos ter:
Passo 3
Vamos agora resolver essas três integrais que apareceram ali!! Vamos começar pela mais tranquilinha!!
Passo 4
Mas podemos reescrever esse sen³(x) = sen²(x)sen(x), certo?
Fazendo a distributiva, temos:
A primeira integral vai nos dar:
Passo 5
Vamos pensar no seguinte aqui pra usar de malandragem: “quem que quando eu derivo vai dar cos²(x)sen(x)?
Se você derivar esse carinha aí de cima, tu concorda que vai dar:
Mas aí apareceu um 3 multiplicando esse cara que não apareceu no nosso integrando ali, certo? Então aí vem a malandragem, quando isso acontecer, basta você dividir por esse fator que tá ali!
Em outras palavras:
E como sabemos o valor de , logo:
Passo 6
Perceba que a integral que ficou faltando resolver foi:
Que se observamos nos diz que teremos uma função de sen(x) que será integrada e vai nos conceder uma função de cos(x), que já vimsoq eu no intervalo de até nos dará zero!
Logo:
E por fim
Logo