Seja

f x = ∫ log 3 ⁡ x x 2 + 1 t 4 + 1 d t

Determine f ' 1 .

Passo 1

Queremos saber o valor da derivada num ponto. Para tal, vamos calcular a derivada primeiro:

f ' x = d d x ∫ log 3 ⁡ x x 2 + 1 t 4 + 1 d t

Pelo teorema fundamental do cálculo:

∫ log 3 ⁡ x x 2 + 1 t 4 + 1 d t = F x 2 + 1 - F log 3 ⁡ x

Tal que: F ' t = t 4 + 1

Ou seja, tal que a derivada de F ( t ) seja o integrando. Assim sendo, substituímos:

f ' x = d d x ∫ log 3 ⁡ x x 2 + 1 t 4 + 1 d t = f ' x = d d x F x 2 + 1 - F log 3 ⁡ x

= F ' x 2 + 1 - F ' log 3 ⁡ x

Passo 2

Uma vez que, por definição:

F ' t = t 4 + 1

Então, usando a regra da cadeia, temos que:

F ' x 2 + 1 = 2 x × x 2 + 1 4 + 1

E também:

F ' log 3 ⁡ x = 1 x ln ⁡ 3   × log 3 ⁡ x 4 + 1

Levando a:

f ' x = 2 x x 2 + 1 4 + 1 - log 3 ⁡ x 4 + 1 x ln ⁡ 3

Passo 3

Não precisa quebrar a cabeça para distribuir isso. É só substituir o ponto:

f ' 1 = 2 1 2 + 1 4 + 1 - log 3 ⁡ 1 4 + 1 ln ⁡ 3 = 2 17 - 1 ln ⁡ 3 .

Ficou meio feio, mas o que vale é simpatia.

Resposta

f ' 1 = 2 17 - 1 ln ⁡ 3

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