Seja

g x = ∫ e x x 2 + 2 x + 1 sen ⁡ t 2 d t

Calcule g ' 0 .

Passo 1

Os 2 limites de integração são funções, então temos que dividir a integral dessa forma:

g x = ∫ e x c sen ⁡ t 2 d t + ∫ c x 2 + 2 x + 1 sen ⁡ t 2 d t

Onde c é uma constante qualquer.

E pra deixar a função no limite de integração de cima nas duas integrais, vamos inverter o sinal da primeira:

g x = - ∫ c e x sen ⁡ t 2 d t + ∫ c x 2 + 2 x + 1 sen ⁡ t 2 d t

Passo 2

Pronto, agora é só mandar bala no TFC + regra da cadeia:

g ' x = - sen ⁡ e x 2 e x ' + sen ⁡ x 2 + 2 x + 1 2 x 2 + 2 x + 1 '

g ' x = - sen ⁡ e 2 x e x + sen ⁡ x 2 + 2 x + 1 2 2 x + 2

Passo 3

Então em x = 0 :

g ' 0 = - sen ⁡ e 0 e 0 + sen ⁡ 0 + 0 + 1 2 0 + 2

g ' 0 = - sen ⁡ 1 + sen ⁡ 1 . 2

⇒ g ' 0 = sen ⁡ 1

Resposta

sen ⁡ 1

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