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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P4 - 2020.2, Questão 2

Sejam f , g funções diferenciáveis tais que g ' ( 0 ) = 7

∫ x 2 - 12 x x f ( u ) d u   =   g ( x 2 - 9 x + 18 )

O valor de f ( 6 ) é:

  1. 18
  2. 21
  3. 20
  4. 17
  5. 19

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez vamos fazer uso do teorema fundamental do cálculo!!! Lembram dele?

Ele diz que se

F ( x ) = ∫ a x f ( u ) d u

F ' ( x ) = f ( x )

Lembraram? Boa!

Além disso, podemos combinar esse teorema com a regra da cadeia, chegando na seguinte conclusão

F ( x ) = ∫ a g ( x ) f ( u ) d u

F ' ( x ) = f ( g ( x ) ) * g ' ( x )

Show? Então bora pra questão.

Nosso objetivo é descobrir qual a o valor de f ( 6 ) sabendo que

g ' ( 0 ) = 7

∫ x 2 - 12 x x f ( u ) d u   =   g ( x 2 - 9 x + 18 )

E aí, alguma ideia de como começar? Podemos utar o teorema fundamental do cálculo. Então temos:

d d x ∫ x 2 - 12 x x f ( u ) d u   =   d d x g ( x 2 - 9 x + 18 )

Usando o TFC e a regra da cadeia

⇒ f ( x )   - f ( x 2 - 12 x ) ( 2 x - 12 ) =   g ' ( x 2 - 9 x + 18 ) ( 2 x - 9 )

Passo 2

No passo anterior, chegamos a conclusão que

f ( x )   - f ( x 2 - 12 x ) ( 2 x - 12 ) =   g ' ( x 2 - 9 x + 18 ) ( 2 x - 9 )

Por meio do TFC e da regra da cadeia

Mas queremos calcular f ( 6 ) , e agora? Ora! fazemos x = 6 e substituímos na equação acima. Então temos:

f ( 6 )   - f ( 6 2 - 12 * 6 ) ( 2 * 6 - 12 ) =   g ' ( 6 2 - 9 * 6 + 18 ) ( 2 * 6 - 9 )

⇒ f ( 6 )   =   g ' ( 0 ) ( 3 )

Como o enunciado diz que

g ' ( 0 ) = 7

Então

f ( 6 )   =   g ' ( 0 ) ( 3 )

⇒ f ( 6 )   =   7 * ( 3 )

= 21

Ou seja,

f ( 6 )   = 21

Valor presente na alternativa b )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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