UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 5 - Integrais, Questão 1a
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções:
Passo 1
Faaala galerinha, como é que estão as coisas por aí?
Nessa questão precisamos usar o nosso querido Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para encontrar a derivada da função , onde é dada por:
Bom, para resolver o exercício, vamos dar uma revisada no TFC.
Segundo ele, se é uma função contínua em e
onde , então também é contínua em e:
Ou seja galera, a derivada da nossa função, é basicamente igual à função que está sendo integrada. Sacaram?
Bora matar o problema então!
Passo 2
Como vimos, temos:
Comparando com o TFC que apresentamos anteriormente, temos que:
Para o TFC ser aplicável precisa ser obedecida uma condição:
é contínua em onde
Vamos verificar se essa condição é obedecida no nosso item.
Será que possui algum ponto de descontinuidade?
A única restrição que existe é quanto ao denominador, que nunca pode zerar. Ou seja:
Ou seja, o único ponto de descontinuidade da função acontece em . Mas, na nossa integral, temos que:
Logo, em qualquer intervalo fechado do tipo que contenha , a nossa função é contínua. Satisfazendo, assim, a condição para aplicação do TFC 😊
Passo 3
Aplicando o TFC, vimos que:
Assim:
Prontinho galera! Com isso matamos a questão 😊
Obrigado pela atenção!