UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 5 - Integrais, Questão 1b
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções:
Passo 1
E aí galera do bem, tudo na paz com vocês?
Nessa questão precisamos usar o nosso querido Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para encontrar a derivada da função , onde é dada por:
Bom, para resolver o exercício, vamos dar uma revisada no TFC.
Segundo ele, se é uma função contínua em e
onde , então também é contínua em e:
Ou seja galera, a derivada da nossa função, é basicamente igual à função que está sendo integrada. Sacaram?
Bora matar o problema então!
Passo 2
Como vimos, temos:
Nota que tem uma pequena mudança em relação à variável principal (no TFC geralmente apresentamos sendo a principal e a de integração, aqui é a principal e a de integração).
Comparando com o TFC que apresentamos anteriormente, temos que:
Para o TFC ser aplicável precisa ser obedecida uma condição:
é contínua em onde
Vamos verificar se essa condição é obedecida no nosso item.
Será que possui algum ponto de descontinuidade?
Então, como temos uma raiz quadrada, um possível ponto de descontinuidade ocorreria se tivéssemos o termo dentro da raiz negativo. Vamos ver se isso acontece:
Porém, como estamos nos números reais,
Ou seja, não existe nenhum valor de que cause problema na nossa função, por ser um ponto de descontinuidade.
Assim, concluímos que pra qualquer intervalo que contenha a nossa função é sempre contínua e a condição para aplicação do TFC é obedecida.
Passo 3
Massa! Já que o TFC é obedecido vamos aplicá-lo. Assim:
Prontinho!! Matamos mais uma 😊
Até a próxima!!