UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 5 - Integrais, Questão 1c
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções:
Passo 1
Eaí galera, tudo bomm??
Nessa questão precisamos usar o nosso querido Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para encontrar a derivada da função , onde é dada por:
Bom, para resolver o exercício, vamos dar uma revisada no TFC.
Segundo ele, se é uma função contínua em e
onde , então também é contínua em e:
Ou seja galera, a derivada da nossa função, é basicamente igual à função que está sendo integrada. Sacaram?
Massa! Vamos então primeiro deixar nossa com a mesma carinha do TFC, depois verificamos se a condição do TFC foi obedecida e por fim aplicamos na nossa função 😊
Vamos lá!
Passo 2
Pra começar, precisamos deixar a nossa com a mesma cara do TFC apresentado. Temos:
O problema é que nos limites de integração o limite superior é e o inferior é . No TFC a variável aparece no limite superior. Pra deixar desse jeito, podemos usar a seguinte propriedade das integrais:
Assim, vamos ter que:
Excelente! Já deixamos no mesmo formato do TFC 😊
Comparando com o TFC que apresentamos anteriormente, temos que:
Para o TFC ser aplicável precisa ser obedecida uma condição:
é contínua em onde
Vamos verificar se essa condição é obedecida no nosso item.
Será que possui algum ponto de descontinuidade?
Bom, a função cosseno é contínua em todos os reais. O problema é que o seu argumento é a raiz quadrada de , e a função raiz quadrada possui apenas domínio não-negativo.
Ou seja, para que seja contínua no intervalo precisamos ter .
Mas, observando os limites de integração de , vemos que . Ou seja, sempre podemos definir um intervalo fechado que contenha , de modo que:
com .
Nesse intervalo sempre será contínua 😊
Portanto, a condição para aplicação do TFC foi obedecida.
Passo 3
Pra finalizar, vamos aplicar o querido TFC.
Assim, temos que:
Logo:
Prontinho! Curtiram a solução? Responde Aí!