UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 5 - Integrais, Questão 1d
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções:
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo bom?
Nessa questão recebemos a função:
E, precisamos calcular a sua derivada, .
Para fazer isso, devemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). A ideia principal que precisamos aplicar desse teorema é que:
Se:
Pelo TFC, sendo a primitiva de vale que:
Daí, ainda pelo TFC se queremos encontrar basta derivarmos a expressão acima, e teremos algo do tipo:
pois como falamos é a primitiva de .
Ou seja, uma regra da cadeia na derivada.
Sacaram a ideia?
Então vamo nessa!
Passo 2
Recebemos a função:
O ponto crucial de perceber é que o limite superior de integração é uma função de que chamaremos:
Além disso, o nosso integrando é o próprio . Ou seja:
Com essas informações, já podemos usar o TFC para encontrar .
(É bem legal perceber que não precisamos calcular a primitiva de , no final das contas já temos todas as informações que precisamos 😊).
Assim, pelo que apresentamos no passo anterior:
Ou seja:
Como:
Temos:
Mas, pela propriedade do , temos:
Assim:
Aeeee! Terminamos mais uma!
Vamo aproveitar o embalo e ir pra próxima já 😊