UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 5 - Integrais, Questão 1f
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções:
Passo 1
Eaí pessoal, estão com dificuldades nessa questão? Vem com o Responde Aí que vai ficar tudo tranquilo 😊
Nessa questão recebemos a função:
E, precisamos calcular a sua derivada, .
Para fazer isso, devemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).
Os limites de integração parecem complicar um pouco a nossa vida, mas vamos com calma, se entendermos bem o TFC esses limites de integração vão ser um obstáculo bem pequeno 😊.
Pelo TFC, se temos a integral:
Então, se é a primitiva de , podemos afirmar que:
Mas, não estamos interessados em calcular , queremos a sua derivada. Daí, podemos usar esse resultado do TFC e derivar a expressão acima. Precisaremos usar a regra da cadeia, e também o fato de que se é a primitiva de , então .
Assim:
Usando , vem:
Essa é a expressão mais geral que vamos trabalhar pra resolver o nosso problema. E, diga-se de passagem haha, ela nos ajuda bastante, pois a única informação que ainda não temos é quanto vale:
Tranquilo? Vamo nessa!
Passo 2
Como vimos, recebemos a função:
E, precisamos calcular . Para isso, vamos usar:
onde:
Perfeito! Vamos calcular as derivadas de e de , que são as únicas informações que faltam para aplicarmos a expressão que desenvolvemos pra .
Pois é uma função constante.
E:
Que, pela regra de derivação de polinômios, vale:
Excelente! Substituindo na nossa expressão, vem:
Portanto:
E é isso aí galera! Matamos mais um item.
Curtiram a solução? Responde Aí!