UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.36
Um balão esférico está sendo enchido a uma taxa de . Encontre a taxa de crescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a . Encontre todos os pontos sobre a curva dada pela equação
nos quais a inclinação da reta tangente à curva é igual a .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu dois problemas. O primeiro é achar a taxa de crescimento do raio de um balão, que está sendo enchido a uma taxa de , quando seu diâmetro for de . E o segundo é encontrar os pontos nos quais a inclinação da reta tangente à curva é igual a .
Para o primeiro problema, como o bal��o é esférico, vamos usar a fórmula do volume da esfera:
Como a taxa de variação desse volume é de , isso quer dizer que a derivada do volume em relação ao tempo é de . É daí que a gente vai partir pra encontrar a taxa de crescimento do raio, .
No segundo problema, para descobrir os pontos em que a inclinação da reta é igual a , vamos precisar calcular a derivada implícita da equação. Assim, vamos encontrar , que é a inclinação da reta, e igualar o resultado a , de modo a achar os pontos .
Então, vamos lá!
Passo 2
Vamos começar encontrando a taxa de variação do raio do balão. Usando a informação de que a taxa de variação do volume é e a equação de volume da esfera, temos:
Colocando as constantes do lado de fora da derivada:
Pra resolver essa derivada de , vamos precisar usar a regra da cadeia:
Então:
Colocando isso de volta na equação da esfera:
Isolando , temos a taxa de crescimento do raio:
Então, quando o diâmetro é de , o raio da esfera é:
E sua taxa de variação será:
Passo 3
Agora para resolver o problema da inclinação da reta, vamos derivar a equação implicitamente em relação a :
Colocando em evidência:
Simplificando:
Como a gente quer os pontos onde a inclinação é igual a e a inclinação é a própria derivada , vamos igualar esse resultado a :
Aplicando a propriedade distributiva:
Simplificando, obtemos:
Substituindo na equação , vamos ter:
E para , temos:
Então, nossos pontos são e .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
e