Mostre que tem exatamente uma raiz real e localize-a em um intervalo de amplitude máxima .

Logo,

Então esses são os pontos críticos de , e temos

Portanto, é decrescente em e crescente em .

Agora vejamos quais são os valores da função nos pontos críticos:

E pela análise que fizemos logo antes, é um ponto de máximo local, enquanto que é um ponto de mínimo local.

Só nos falta uma última ferramenta pra provar o que ele pediu: o Teorema do Valor Intermediário.

Vimos que

Vamos pegar algum valor de tal que . Por exemplo, :

Então temos que é uma função contínua (é um polinômio) e crescente no intervalo , sendo que e .

Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, tem uma única raiz no intervalo .

Ok, localizamos a raiz, mas ele quer um intervalo de amplitude máxima 1. Então vamos calcular e ver no que dá:

Show, então pelo mesmo raciocínio que usamos agora a pouco, pelo TVI, temos que possui uma única raiz no intervalo .

Agora só resta provar que não existem outras raízes.

Nós fatiamos o em 3 intervalos, né? De a , de a , e de a . Então vamos ver esses intervalos um por um e provar que não existem raízes neles, beleza?

Começando pelo intervalo .

Na verdade esse intervalo é o que tem a raiz né. Mas descobrimos que ela está entre e . Então provemos que não há nenhuma entre e .

Isso é bem simples: a função é crescente no intervalo , então o seu valor máximo é atingido em e:

Ok, não há raízes nesse intervalo.

Agora vejamos o intervalo .

A função é decrescente nesse intervalo, temos e .

Portanto, pelo mesmo raciocínio do passo anterior temos:

E no intervalo também vai ser bem rápido.

Nesse intervalo a função é crescente, e como :

Com isso provamos que tem exatamente uma raiz real e que ela está no intervalo .