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Exercícios Resolvidos de Teste de Crescimento e Decrescimento

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.19

Mostre que

f ( x )   =   ( 1   +   x ) 1 / x

é estritamente decrescente em ] 0 ,   + ∞ [ . Conclua que

( 1   +   π ) e   <   ( 1   +   e ) π

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1.

Queremos mostrar que f ( x )   =   ( 1   +   x ) 1 / x é estritamente decrescente em ] 0 ,   + ∞ [

E concluir que

( 1   +   π ) e   <   ( 1   +   e ) π

Bem, vamos resolver!!!

Passo 2

Vamos começar obtendo a derivada de

f ( x )   =   ( 1   +   x ) 1 / x

Para isso, vamos fazer uma derivada implícita. Defina

y ( x ) = ( 1   +   x ) 1 / x

⇒ l n ( y ( x ) ) = l n ( 1 + x ) x

Agora podemos derivar implicitamente

temos:

1 / y ( x )   *   y ' ( x ) = x / ( 1 + x ) - l n ( 1 + x ) x ²

⇒ y ' ( x ) = ( 1   +   x ) 1 / x * ( x / ( 1 + x ) - l n ( 1 + x ) x ² )

Agora, note que para x ∈   ] 0 ,   + ∞ [ .

x / ( 1 + x ) - l n ( 1 + x ) x ² < 0

Pois se

x / ( 1 + x ) = l n ( 1 + x )

⇒ x = 0

Ou seja os gráficos dessas funções só se cruzam uma vez, em x = 0 e como o log cresce mais rápido que x / ( 1 + x ) então

x / ( 1 + x ) < l n ( 1 + x )

Dessa forma, provamos que f ( x )   =   ( 1   +   x ) 1 / x é estritamente decrescente em ] 0 ,   + ∞ [

Passo 3

Logo como provamos que a função é estritamente decrescente, temos que

( 1   +   e ) 1 / e > ( 1   +   π ) 1 / π

elevando a e π ,

⇒ ( 1   +   e ) π e / e > ( 1   +   π ) π e / π

Logogo

( 1   +   π ) e   <   ( 1   +   e ) π

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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