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Exercícios Resolvidos de Teste de Crescimento e Decrescimento

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Enunciado

Determine os valores de c para os quais a função

f x = c x + 1 x 2 + 3

é crescente em ( - ∞ ,   ∞ ) .

Passo 1

Para que a função seja crescente em ( - ∞ ,   ∞ ) devemos ter

f ' x > 0

Então vamos derivar f

f ' ( x ) = c - 2 x ( x 2 + 3 ) ²

Portanto, queremos que

c - 2 x ( x 2 + 3 ) ² > 0

c > 2 x ( x 2 + 3 ) ²

Passo 2

O que podemos concluir a partir de c > 2 x ( x 2 + 3 ) ² ? Bom, c tem que ser maior que todos os valores de da função 2 x ( x 2 + 3 ) ² . Então, podemos encontrar o máximo absoluto dela e dizer que se c for maior que ele, a função f sempre será crescente em ( - ∞ ,   ∞ ) . Vamos nessa missão então, primeiro derivando a função que chamaremos de g :

g x = 2 x ( x 2 + 3 ) ²

g ' ( x ) = 2 ( x 2 + 3 ) ² - 2 ( x 2 + 3 ) 2 x ( 2 x ) ( x 2 + 3 ) 4 = 6 - 6 x ² ( x 2 + 3 ) ³

Passo 3

Agora vamos achar os pontos críticos de g

g ' x = 0

6 - 6 x ² ( x 2 + 3 ) ³ = 0

6 - 6 x ² = 0

x = ± 1

Aplicando o teste da primeira derivada:

  • Perto de x = 1 : Em x = 0 → 6 - 6 ∙ 0 ² ( 0 2 + 3 ) ³ > 0

    • Em x = 2 → 6 - 6 ∙ 2 ² ( 2 2 + 3 ) ³ < 0

  • Perto de x = - 1 : Em x = - 2 → 6 - 6 - 2 2 - 2 2 + 3 3 < 0

Em x = 0 → 6 - 6 ∙ 0 ² ( 0 2 + 3 ) ³ > 0

Então, x = - 1 é mínimo global e x = 1 é máximo global.

Passo 4

Agora que sabemos o ponto em que g atinge seu máximo absoluto, vamos descobrir quanto ele vale:

g 1 = 2 ∙ 1 ( 1 2 + 3 ) ² = 2 4 ² = 1 8

Finalmente, podemos concluir que se

c > 1 8

então f será crescente em ( - ∞ ,   ∞ ) .

Resposta

c > 1 8

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