Para cada função f definida abaixo faça todos os itens a seguir:

  • Encontre a função f'(x) e os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
  • Encontre a função f''(x) e estude a concavidade de f .

f(x) = e^(1/x) - 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede primeiro para determinarmos a sua derivada f x .

Com essa derivada, devemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f x , ou seja, devemos determinar os pontos críticos (onde f ' x = 0 ) e verificar o comportamento da função.

Depois, derivamos f ' x para encontrarmos a segunda derivada f ' ' x .

Para verificar a concavidade, temos que lembrar que se a derivada segunda for negativa, a concavidade da função é voltada para baixo e, se for positiva, a concavidade é voltada para cima.

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... primeiramente vamos encontrar a derivada primeira utilizando a regra da cadeia:

f ' x = - e 1 x x 2

Agora vamos fazer f ' x = 0 para encontrarmos os pontos críticos:

- e 1 x x 2 = 0 ∴

e 1 x = 0

A função exponencial e 1 / x nunca é zero, então não existem pontos críticos.

Mesmo assim, podemos estudar os intervalos da nossa função f ' x = - e 1 x x 2 :

  • Para valores menores que 0 tanto e 1 / x quanto x 2 são sempre positivos, fazendo com que f ' x seja negativo.
  • Para valores maiores que 0 tanto e 1 / x quanto x 2 são sempre positivos, fazendo com que f ' x seja negativo.

Com base nesses resultados, podemos afirmar:

f x = d e c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x ∈ R

Passo 3

Derivando f ' x para encontrarmos a segunda derivada, utilizando a regra do quociente, obtemos:

f ' ' x = x 2 - e 1 x ' - - e 1 x x 2 ' x 2 2 ∴

f ' ' x = e 1 x + 2 x e 1 x x 4

Fazendo f ' ' x = 0 , temos:

e 1 x + 2 x e 1 x x 4 = 0 ∴

e 1 x + 2 x e 1 x = 0 ∴

e 1 x 1 + 2 x = 0 ∴

x = - 1 2

Dessa forma, para valores menores que - 1 2 a segunda derivada é negativa (e, portanto, a concavidade de f x é voltada para baixo).

Por outro lado, para valores maiores que - 1 2 a segunda derivada é positiva e, portanto, a concavidade de f x é voltada para cima.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f ' x = - e 1 x x 2

f x = d e c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x ∈ R

f ' ' x = e 1 x + 2 x e 1 x x 4

Concavidade para cima para x > - 1 2

Concavidade para baixo para x < - 1 2

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