UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 10f
Para cada função definida abaixo faça todos os itens a seguir:
- Encontre a função e os intervalos de crescimento e decrescimento de ;
- Encontre a função e estude a concavidade de .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função e nos pede primeiro para determinarmos a sua derivada .
Com essa derivada, devemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de , ou seja, devemos determinar os pontos críticos (onde ) e verificar o comportamento da função.
Depois, derivamos para encontrarmos a segunda derivada .
Para verificar a concavidade, temos que lembrar que se a derivada segunda for negativa, a concavidade da função é voltada para baixo e, se for positiva, a concavidade é voltada para cima.
Agora vamos lá!!
😉
Passo 2
Então... primeiramente vamos encontrar a derivada primeira utilizando a regra da cadeia:
Agora vamos fazer para encontrarmos os pontos críticos:
ou
Obs: A função exponencial nunca é zero, então não existem pontos críticos.
Mesmo assim, podemos estudar os intervalos da nossa função :
- Para valores menores que (vamos escolher ):
- Para valores maiores que (vamos escolher ):
Com base nesses resultados, podemos afirmar:
Passo 3
Derivando para encontrarmos a segunda derivada, utilizando a regra do produto, obtemos:
Fazendo , temos:
Dessa forma, para valores menores que , é sempre positivo e também. Assim, a concavidade é voltada para cima.
Por outro lado, para valores entre e , é sempre positivo e é negativo. Assim, a concavidade é voltada para baixo.
Por fim, para valores maiores que , é sempre positivo e também. Assim, a concavidade é voltada para cima.
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
Concavidade para cima para e
Concavidade para baixo para