Prove que

raiz(1 + x) < 1 + x/2, para x > 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1.

Queremos provar que

1 + x   <   1   +   x / 2 ,   p a r a   x > 0

Bem, vamos resolver!!!

Passo 2

Para provarmos o resultado, nós só precisamos mostrar que o lado direito cresce mais rápido que o lado esquerdo, pois para x = 0 existe igualdade entre as funções. Ou seja, as derivadas de um lado são maiores que as derivadas do outro lado. Então, derivando, temos

1 2 ( 1 + x ) 1 / 2

1   + x

Podemos ver que

1   + x > 1 2 ( 1 + x ) 1 / 2

Logo, a função 1   +   x / 2 cresce mais rápido que a função 1 + x . Logo podemos concluir que

1 + x   <   1   +   x / 2 ,   p a r a   x > 0

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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