Estude os intervalos de crescimento e decrescimento de

f(x) = (x^2 - x) / (1 + 3x^2)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez uma sobre intervalos de crescimento

Nosso objetivo é encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de f ( x )   =   x 2 - x 1 + 3 x 2 .

Para isso, precisamos lembrar que o sinal da primeira derivada indica o crescimento de uma função. Sinal positivo função crescente. Sinal negativo decrescente

Passo 2

Bem, vamos derivar f

f ( x )   =   x 2 - x 1 + 3 x 2 .

Para isso, vale lembrar a regra da derivada da divisão

h ( x ) = g ( x ) / f ( x )

⇒ h ' ( x ) = ( g ' ( x ) f ( x ) - g ( x ) f ' ( x ) ) / f 2 ( x )

Usando essa propriedade, temos:

f ' ( x )   =   ( 2 x - 1 ) ( 1 + 3 x 2 ) -   ( x 2 - x ) 6 x ( 1 + 3 x 2 ) 2 .

=   3 x 2 + 2 x - 1 ( 1 + 3 x 2 ) 2

Agora precisamos fazer o estudo de sinal de f ' ( x )

Passo 3

f ' ( x ) =   3 x 2 + 2 x - 1 ( 1 + 3 x 2 ) 2

Note que o denominador é sempre positivo. Logo, só precisamos nos preocupar com o sinal do numerador. Vamos começar encontrando as raízes de

3 x 2 + 2 x - 1

Usando Bhaskara obtemos duas raízes

x = - 1

x = 1 / 3

Como a parábola tem concavidade para cima, temos que

f ' ( x ) < 0   p a r a   - 1 ≤ x ≤ 1 / 3  

e maior que zero para os demais valores. Então

f ( x )   =   x 2 - x 1 + 3 x 2 .

decrescente em

- 1 ≤ x ≤ 1 / 3

e crescente fora desse intervalo

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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