ME02) Seja dada por então:
- e é estritamente crescente
- Nenhuma das alternativas é correta
- e tem um ponto de mínimo local
- e tem um ponto de mínimo local
- e é estritamente crescente
Passo 1
Um bom primeiro passo pra essa questão vai ser a gente ver as opções. Veja, todas elas falam de limite e sobre a função ser estritamente crescente ou não. Como pra gente analisar se ela é ou não vamos precisar da inclinação da reta tangente, vamos precisar pra resolver:
- Calcular o limite
- Derivar a função
Antes de mais nada, olha essa propriedade aqui:
Usando essa propriedade, podemos reescrever a função para:
Reescrever assim vai facilitar muito nossas vidas, quer ver? Bora pro próximo passo então:
Passo 2
Vamos calcular o limite então. Como todos os limites das opções são para , fazemos:
Então se calcularmos o limite de cima, achamos a resposta. Veja bem, da propriedade dos limites:
Opa, então só precisamos calcular os limites individuais. Ficamos com:
E como:
Fechamos o limite para:
Passo 3
Agora pra ver se a função é estritamente crescente ou não, vamos derivar pra ver como a inclinação da reta tangente se comporta.
Usando a regra da cadeia, temos:
O que pela regra do produto nos leva à:
Show de bola, agora vamos checar o sinal da primeira derivada. Ela será estritamente crescente se for sempre positiva e terá um ponto de mínimo se a inclinação for negativa pra algum . De qualquer forma vamos precisar igualar à pra saber. Então vamos ter:
Como funções exponenciais nunca são iguais à ficamos com:
Então vamos ter sim um ponto crítico! Pra checar se esse ponto vai ser de mínimo, vamos escolher pontos antes e depois desse . Pra , temos:
Se a inclinação era negativa antes e positiva depois, então
É de fato um ponto de mínimo! Fechamos então com chave de ouro a questão, e a única opção que engloba tudo que vimos é: