Seja f uma função tal que f(0) = 0 e f'(x) = x^2 / (1 + x^2), ∀ x ∈ R , mostre que 0 < f(x) < x ∀x > 0 .

Passo 1

Enunciar o teorema do valor médio

Provar inequações as vezes pode dar uma dorinha de cabeça e uma enrolada na mente, eu sei, mas com calma a gente chega lá. Vamos lembrar do teorema do valor médio e ver se conseguimos algo dele. Seja f x contínua entre a , b , tal que f ( a ) ≠ f b , então existirá um número c tal que c ∈ a , b que satisfaz:

f ' c = f b - f a b - a

Mas pera, nosso enunciado já nos diz que f 0 = 0 . Show de bola, vamos então definir:

a , b = 0 , x

E ficar com:

f ' c = f x - f 0 x - 0

f ' c = f x x

f x = x f ' c

Passo 2

Achar uma expressão para f ' c e coloca-la na inequação

Pra isso, vamos ter que dar uma boa olhada no nosso enunciado. Se:

0 < f x < x

E nós temos do passo anterior que:

f x = x f ' c

Unindo os resultados, vamos ficar com:

0 < x f ' c < x

E dividindo os dois lados por x , temos:

0 < f ' c < 1

Show de bola, o enunciado também nos da a expressão de f ' x . Quando x = c , vamos ter:

f ' c = c 2 1 + c 2

E logo:

0 < c 2 1 + c 2 < 1

0 < c 2 < c 2 + 1

E lembrando que c   ∈ 0 , x , qualquer que seja o valor de c a inequação anterior está provada. Fim de papo, agora é partir pro abraço!

Resposta

0 < f x < x ∀ x > 0 é provado como verdadeiro.

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