Seja uma função tal que e , mostre que .
Passo 1
Enunciar o teorema do valor médio
Provar inequações as vezes pode dar uma dorinha de cabeça e uma enrolada na mente, eu sei, mas com calma a gente chega lá. Vamos lembrar do teorema do valor médio e ver se conseguimos algo dele. Seja contínua entre , tal que , então existirá um número tal que que satisfaz:
Mas pera, nosso enunciado já nos diz que . Show de bola, vamos então definir:
E ficar com:
Passo 2
Achar uma expressão para e coloca-la na inequação
Pra isso, vamos ter que dar uma boa olhada no nosso enunciado. Se:
E nós temos do passo anterior que:
Unindo os resultados, vamos ficar com:
E dividindo os dois lados por , temos:
Show de bola, o enunciado também nos da a expressão de . Quando , vamos ter:
E logo:
E lembrando que , qualquer que seja o valor de a inequação anterior está provada. Fim de papo, agora é partir pro abraço!
Resposta
é provado como verdadeiro.