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Exercícios Resolvidos de Teste de Crescimento e Decrescimento

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Raphael Constant - Lista 7 - Esboço de gráficos e Regra de L'Hôpital, Questão 1g

Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função

f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de calc1. Nosso objetivo é descobrir qual é o intervalo de crescimento e decrescimento da função

f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )

Como fazemos isso? Precisamos ver o sinal da primeira derivada. Se o sinal é positivo a função é crescente naquela região, se for negativo é decrescente.

Passo 2

Derivando temos:

f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )

Logo

f ' ( x ) = 3 x 2 - 12 x + 11

Vamos fazer o estudo de sinal. Primeiro achando as raízes dessa equação

0 = 3 x 2 - 12 x + 11

Usando Bhaskara:

x = 2 - 1 / 3

ou

x = 2 + 1 / 3

Logo, como temos uma parábola com concavidade para cima, podemos concluir que

f ' ( x ) = 3 x 2 - 12 x + 11

se x < 2 - 1 / 3   o u     x > 2 + 1 / 3  

Então f ' ( x ) > 0

se   2 - 1 / 3 < x < 2 + 1 / 3

Então f ' ( x ) < 0

Logo, a função f é crescente em

x < 2 - 1 / 3   o u     x > 2 + 1 / 3  

E decrescente em

  2 - 1 / 3 < x < 2 + 1 / 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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