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Exercícios Resolvidos de Teste de Crescimento e Decrescimento

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Raphael Constant - Lista 7 - Esboço de gráficos e Regra de L'Hôpital, Questão 1i

Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função

f ( x ) = x 2 x - 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de calc1. Nosso objetivo é descobrir qual é o intervalo de crescimento e decrescimento da função

f ( x ) = x 2 x - 1

Como fazemos isso? Precisamos ver o sinal da primeira derivada. Se o sinal é positivo a função é crescente naquela região, se for negativo é decrescente.

Passo 2

Derivando temos:

f ( x ) = x 2 x - 1

Logo

f ' ( x ) = 2 x ( x - 1 ) - x 2 ( x - 1 ) 2

= x 2 - 2 x ( x - 1 ) 2

Vamos fazer o estudo de sinal. Primeiro achando as raízes dessa função

x 2 - 2 x ( x - 1 ) 2

Note que

( x - 1 ) 2 ≥ 0

Então, só precisamos analisar o sinal de

x 2 - 2 x

Temos uma parábola com concavidade para cima, e as raízes dela são

x = 0

x = 2

Logo,

f ' ( x ) < 0

se

0 < x < 2

f ' ( x ) > 0

se

x < 0   o u   x > 2

Dessa forma, f é

Crescente em

x < 0   o u   x > 2

E decrescente em

0 < x < 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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