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Exercícios Resolvidos de Teste de Crescimento e Decrescimento

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 10a

Para cada função f definida abaixo faça todos os itens a seguir:

  • Encontre a função f ' ( x ) e os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
  • Encontre a função f ' ' ( x ) e estude a concavidade de f .
  1. f x = x 3 + x 2 - 5 x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede primeiro para determinarmos a sua derivada f x .

Com essa derivada, devemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f x , ou seja, devemos determinar os pontos críticos (onde f ' x = 0 ) e verificar o comportamento da função.

Depois, derivamos f ' x para encontrarmos a segunda derivada f ' ' x .

Para verificar a concavidade, temos que lembrar que se a derivada segunda for negativa, a concavidade da função é voltada para baixo e, se for positiva, a concavidade é voltada para cima.

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... primeiramente vamos encontrar a derivada primeira utilizando a regra da potência:

f ' x = 3 x 2 + 2 x - 5

Agora vamos fazer f ' x = 0 para encontrarmos os pontos críticos:

3 x 2 + 2 x - 5 = 0

Através dessa equação do segundo grau, encontramos x = 1 e x = 5 3 . Assim, agora podemos estudar os intervalos da nossa função:

  • Para valores menores que 1 (vamos escolher x = 1 2 ):

    • f ' 1 2 = 3 1 2 2 + 2 1 2 - 5 = - 13 4

  • Para valores entre 1 e 5 3 (vamos escolher 1,5 ):

    • f ' 1,5 = 3 1,5 2 + 2 1,5 - 5 = 4,75

  • Para valores maiores que 5 3 (vamos escolher x = 2 ):

f ' 2 = 3 2 2 + 2 2 - 5 = 11

Com base nesses resultados, podemos afirmar:

f x = d e c r e s c e n t e   p a r a   x < 1 c r e s c e n t e   p a r a   1 < x < 5 3 c r e s c e n t e   p a r a   x > 5 3

Passo 3

Derivando f ' x para encontrarmos a segunda derivada, obtemos:

f ' ' x = 6 x + 2

Fazendo f ' ' x = 0 , temos:

6 x + 2 = 0 ∴

x = - 1 3

Dessa forma, para valores menores que - 1 3 a segunda derivada é negativa (e, portanto, a concavidade de f x é voltada para baixo).

Por outro lado, para valores maiores que - 1 3 a segunda derivada é positiva e, portanto, a concavidade de f x é voltada para cima.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f ' x = 3 x 2 + 2 x - 5

f x = d e c r e s c e n t e   p a r a   x < 1 c r e s c e n t e   p a r a   1 < x < 5 3 c r e s c e n t e   p a r a   x > 5 3

f ' ' x = 6 x + 2

Concavidade para cima para x > - 1 3

Concavidade para baixo para x < - 1 3

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