Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função

f(x) = 1 / raiz(x^2 + 1)

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de calc1. Nosso objetivo é descobrir qual é o intervalo de crescimento e decrescimento da função

f ( x ) = 1 x 2 + 1

Como fazemos isso? Precisamos ver o sinal da primeira derivada. Se o sinal é positivo a função é crescente naquela região, se for negativo é decrescente.

Passo 2

Derivando temos:

f ( x ) = 1 x 2 + 1

Logo

f ' ( x ) = - 1 2 * ( x 2 + 1 ) - 3 / 2 * 2 x

Vamos fazer o estudo de sinal. Primeiro achando as raízes dessa equação

Vamos fazer o estudo de sinal de cada uma das partes

( x 2 + 1 ) - 3 / 2

- x

Temos que

( x 2 + 1 ) - 3 / 2 > 0 . Pois

x 2 + 1 > 0

Logo,

f ' ( x ) = ( x 2 + 1 ) - 3 / 2 * - x

se x < 0  

Então f ' ( x ) > 0

se   x > 0

Então f ' ( x ) < 0

Logo, a função f é crescente em

x < 0  

E decrescente em

  x > 0

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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