Mostre que:
Passo 1
Entender o que acontece no
Provar essa inequação parece complicadinho, até porque se fizermos:
Eita, mas será mesmo que uns infinitos são menores do que outros ?
Uma estratégia é tentar provar que:
Que dá no mesmo, mas facilita a nossa vida na hora de aplicar o limite. Vamos então agora calcular:
E como a questão pede pra provar pra também, vamos provar que:
Partiu então.
Passo 2
Calcular o limite para
Nesse limite temos duas funções que tendem ao infinito, então:
É na verdade uma indeterminação do tipo . Temos que então reescrever a função de forma a nos ajudar a sair dessa indeterminação. Vamos começar então por:
O que é o mesmo que:
Eita, parece mais complicado! Mas de uma boa olhada no último limite na ordem de leitura:
Esse limite é algo que tiramos por L’Hospital! Realizando então:
E realizando mais uma vezinha só, ficamos:
E por fim, ficamos com:
Agora sim, só aplicar os limites e ver no que dá:
E até ontem pelo menos:
Então esse limite ta provado. Falta pouco pra fecharmos agora!
Passo 3
Provar que
Essai é tranquila. Tudo que precisamos fazer é substituir. Então bora:
Show, fechamos então!
Resposta
é provado como verdadeiro.