Considere e funções definidas pelos gráficos abaixo. Sabendo que é tangente ao gráfico da e ao da em , e que corta os eixos nos pontos indicados, faça um esboço, no mesmo par de eixos, do gráfico das derivadas e .
Passo 1
Antes de pensar no gráfico em si da função, vamos pensar o que diabos aquela reta tangente ali tem a ver com a história. Bem, sabemos que ela, por ser tangente, vai ter a mesma derivada das duas funções no ponto de tangência. A reta passa pelo ponto , então:
Olhando o gráfico, também dá para perceber que a reta toca o eixo y no ponto . Assim, a reta passa pelo ponto também, substituindo para achar :
Show, então a derivada de e vale no ponto , que é o ponto de tangência.
Passo 2
Vamos concentrar agora na parte onde não temos valores. Sabemos que onde o gráfico cresce a derivada é positiva. Onde decresce ela é negativa. Esboçando umas regiões de crescimento e decrescimento:
Até , as duas derivadas são negativas. A partir daí, positivas. Em as derivadas são horizontais (olhe a linha pontilhada no gráfico) e, portanto:
Agora, repara naquele sinal de negativo pequeno que ali no fim: o gráfico volta a decrescer a partir daí, ou seja, um pouco à frente de . , porém, continua crescendo.
Passo 3
Agora podemos propriamente esboçar o crescimento e decrescimento das derivadas:
Esclarecendo uma coisa mais: Nesse caso, você não precisa saber como é o desenho do gráfico, a única coisa numérica é que e . Para construir o resto, usamos os intervalos de crescimento e decrescimento.