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Exercícios Resolvidos de Teste de Crescimento e Decrescimento

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Enunciado

UFSC – Lista 3.4 – 21.1 – P2b

Para cada uma das funções abaixo, determine os intervalos de crescimento e decrescimento.

f x = 3 x 4 - 4 x 3 - 12 x 2 + 5

Passo 1

O primeiro passo é a gente analisar f ' x = 0 e o seu sinal. Depois disso, vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento.

Passo 2

f ' x = 12 x 3 - 12 x 2 - 24 x = 0

Podemos simplificar essa equação dividindo por 12 x , ou seja, teremos ao final:

x 2 - x - 2 = 0

Vamos analisar quais são as raízes dessa derivada!

As raízes que zeram essa função de segundo grau da derivada são 2 e - 1 .

Ou seja,

f ' x = x 2 - x - 2 = x + 1 x - 2 = 0

Passo 3

Vamos analisar o sinal das duas expressões:

Para x temos:

x + 1 = 0

x = - 1

Aqui a expressão assume valores negativos quando x <   - 1 e assume valores positivos quando x > - 1 .

Para x - 2 = 0 → x = 2

Ou seja, a expressão vai assumir valores negativos para x < 2 e positivos quando x > 2 .

Passo 4

Vamos lá, agora precisamos analisar as duas imagens que achamos nos passos anteriores.

Ou seja, observamos que f ' x > 0

[ - 1 , + ∞ [

Logo, esse intervalo é onde a função será crescente.

E temos f ' x < 0

] - ∞ , - 1 ]

Esse é o intervalo de decrescimento da função.

Resposta

Intervalo de crescimento: [ - 1 , + ∞ [  

Intervalo de decrescimento: ] - ∞ , - 1

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