Prove a desigualdade .
Passo 1
Enunciar o teorema do valor médio
Provar inequações as vezes pode dar uma dorzinha de cabeça e uma enrolada na mente, eu sei, mas com calma a gente chega lá. Vamos lembrar do teorema do valor médio primeiro e ver se conseguimos algo dele. Seja contínua entre , tal que , então existirá um número tal que que satisfaz:
Mas pera, nosso enunciado já nos diz que . Show de bola, vamos então definir:
E ficar com:
Passo 2
Achar uma expressão para e e coloca-la na inequação
Pra isso, vamos ter que dar uma boa olhada no nosso enunciado. Se chamarmos:
Vamos ter que:
Opa, vamos primeiro encontrar :
E depois derivar , ficando com:
E jogando na inequação:
Pra esse produto ser positivo, como , necessariamente temos que ter:
Eita, caímos em outra inequação que temos que provar. Vamos então partir dessa pra chegar no final da nossa questão e partir pro abraço.
Passo 3
Provar a segunda inequação
Opa, de novo aqui cabe usar o TVM. A próxima inequação pra provar é:
Oras, mas isso é exatamente o mesmo que:
Se escolhermos então:
Vamos ficar com:
Show de bola, como nós tínhamos , podemos chamar essa função feia ai de:
Vamos derivar agora de novo e obter uma expressão reduzida pra inequação e mais fácil de resolver, beleza? Saca só:
E jogando na inequação:
Pra esse produto ser positivo, como , necessariamente temos que ter:
Puts, mais uma? É meu amigo, pois é! Mas relaxa que essa é até pequena, então devemos terminar ela rapidinho. Vamo que vamo então:
Passo 4
Provar a terceira inequação
Maaais uma vez vamos usar o TVM, ok? Relaxa que ta acabando. A próxima inequação pra provar é:
O que é exatamente o mesmo que:
Se escolhermos então:
Vamos ficar com:
E como nós temos , é uma escolha interessante fazermos:
E, logo, vamos ter:
Vamos lembrar de uma propriedade importante dos senos e cossenos:
Maravilha, agora é só substituir:
E pronto, tai provado. Provando a terceira inequação provamos também a segunda, que por sua vez prova a primeira. Ufa, acabou!
Resposta
é provado como verdadeiro.