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Exercícios Resolvidos de Teste de Crescimento e Decrescimento

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 10d

Para cada função f definida abaixo faça todos os itens a seguir:

  • Encontre a função f ' ( x ) e os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
  • Encontre a função f ' ' ( x ) e estude a concavidade de f .

f x = 2 x 3 x 3 - 8

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede primeiro para determinarmos a sua derivada f x .

Com essa derivada, devemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f x , ou seja, devemos determinar os pontos críticos (onde f ' x = 0 ) e verificar o comportamento da função.

Depois, derivamos f ' x para encontrarmos a segunda derivada f ' ' x .

Para verificar a concavidade, temos que lembrar que se a derivada segunda for negativa, a concavidade da função é voltada para baixo e, se for positiva, a concavidade é voltada para cima.

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... primeiramente vamos encontrar a derivada primeira utilizando a regra do quociente:

f ' x = x 3 - 8 2 x 3 ' - 2 x 3 x 3 - 8 ' x 3 - 8 2 ∴

f ' x = x 3 - 8 6 x 2 - 2 x 3 3 x 2 x 3 - 8 2 ∴

f ' x = - 48 x 2 x 3 - 8 2

Agora vamos fazer f ' x = 0 para encontrarmos os pontos críticos:

- 48 x 2 = 0 ∴

x = 0

Agora podemos estudar os intervalos da nossa função:

  • Para valores menores que 0 (vamos escolher x = - 1 ):

    • f ' - 1 = - 48 - 1 2 - 1 3 - 8 2 = - 16 27

  • Para valores maiores que 0 (vamos escolher x = 1 ):

f ' - 1 = - 48 1 2 1 3 - 8 2 = - 48 49

Com base nesses resultados, podemos afirmar:

f x = d e c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x ∈ R

Passo 3

Derivando f ' x para encontrarmos a segunda derivada, também utilizando a regra do quociente, obtemos:

f ' ' x = x 3 - 8 2 - 48 x 2 ' - - 48 x 2 x 3 - 8 2 ' x 3 - 8 2 2 ∴

f ' ' x = 192 x x 3 + 4 x 3 - 8 3

Fazendo f ' ' x = 0 , temos:

192 x x 3 + 4 x 3 - 8 3 = 0 ∴

x 3 + 4 = 0 ∴

x = - 2

Dessa forma, para valores menores que - 2 a segunda derivada é negativa (e, portanto, a concavidade de f x é voltada para baixo).

Por outro lado, para valores maiores que - 2 a segunda derivada é positiva e, portanto, a concavidade de f x é voltada para cima.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f ' x = - 48 x 2 x 3 - 8 2

f x = d e c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x ∈ R

f ' ' x = 192 x x 3 + 4 x 3 - 8 3

Concavidade para cima para x > - 2

Concavidade para baixo para x < - 2

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