Seja f(x) = (1 + 4 * ln(x)) / x^4 - 3 . Admita que f'(x) = - 16 * ln(x) / x^5 .

a) Determinar os intervalos abertos nos quais f é estritamente crescente e nos quais é estritamente decrescente;

Passo 1

Em primeiro lugar, olhamos para f ( x ) para determinar o domínio. O ln ⁡ x força o domínio a ser ] 0 , + ∞ [ . Agora, para decidir se f ( x ) decresce ou cresce devemos olhar para a derivada: onde é positiva cresce, onde é negativa decresce. Já recebemos a derivada:

f ' x = - 16 ln ⁡ x x 5

Temos que ln ⁡ x é negativo em ] 0,1 [ e positivo de 1 até , assim - ln ⁡ x terá os sinais exatamente trocados em relação ao ln ⁡ x . Já o x 5 tem seu sinal dependente de x apenas, como o domínio começa a partir de 0 , x 5 é sempre positivo.

Concluímos, então, que f ( x ) é crescente entre 0 e 1 e decrescente a partir daí, com o detalhe de que temos um ponto crítico de máximo no 1 .

Resposta

f ( x )   é   c r e s c e n t e   e n t r e   0   e   1   e   d e c r e s c e n t e   a   p a r t i r   d a í

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