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Exercícios Resolvidos de Teste de Crescimento e Decrescimento

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Enunciado

Considere P t uma população de cardume de peixes em certo lago, medida em centenas de milhares de peixes em t anos. Os peixes são pescados com certa frequência e dada suas taxas de reprodução, as populações evoluem de acordo com

P ' = P 10 - P - 25 .

a) Notando que P 10 - P - 25 = - P - 5 2 , qual a população crítica que esse modelo nos fornece, ou seja, qual constante C é tal que P t ≡ C   é solução da equação acima?

b) Sabendo que P 0 = 3   t r e z e n t o s   m i l   p a i x e s , calcule quantos anos T teremos até a extinção dos peixes neste lago, ou seja, P T = 0 .

Passo 1

a) Para satisfazer isso, precisamos que P ' = 0 , logo

P ' = 0 = - P - 5 2

0 = P - 5 2

P = 5

P t = 5   (quinhentos mil) peixes satisfaz.

Passo 2

b) Observa que podemos reescrever a equação como sendo

P ' = - P - 5 2

- P ' P - 5 2 = 1

- d P P - 5 2 = d t

- ∫ d P P - 5 2 = ∫ d t

u = P - 5 → - ∫ 1 u 2 d u = t + C

1 u = t + C

1 P - 5 = t + C

Passo 3

Aplicando agora a condição incial para encontrarmos o valor da constante.

1 P - 5 = t + C → P 0 = 3

- 1 2 = 0 + C → C = - 1 2

Logo,

1 P - 5 = t - 1 2

Isolando então nosso P t :

1 = 2 t - 1 2 × P - 5

Fazendo a distributiva na multiplicação:

1 = 2 t - 1 2 P - 5 2 t - 1 2

Passando 5 2 t - 1 2 pro outro lado da equação:

1 + 5 2 t - 1 2 = 2 t - 1 2 P

Aplicando de novo a distributiva e tirando o M.M.C:

1 + 10 t - 5 2 = 2 t - 1 2 P

2 + 10 t - 5 2 = 2 t - 1 2 P

10 t - 3 2 = 2 t - 1 2 P

Passando 2 t - 1 2 pro outro lado:

10 t - 3 2 ∙ 2 2 t - 1 = P

P t = 10 t - 3

O que a questão quer é saber o valor de T para termos P t = 0

0 = 10 t - 3

10 t = 3

t = 3 10

Logo, T = 3 10 de ano

Resposta

a )   P t = 5

b )   T = 3 10

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