Prove a desigualdade . (Sugestão: prove para e e depois use o fato de que as funções de ambos os lados são pares)
Passo 1
Enunciar o teorema do valor médio
Provar inequações as vezes pode dar uma dorzinha de cabeça e uma enrolada na mente, eu sei, mas com calma a gente chega lá. Vamos lembrar do teorema do valor médio primeiro e ver se conseguimos algo dele. Seja contínua entre , tal que , então existirá um número tal que que satisfaz:
Mas pera, nosso enunciado já nos diz que . Show de bola, vamos então definir:
E ficar com:
Passo 2
Achar uma expressão para e e coloca-la na inequação
Pra isso, vamos ter que dar uma boa olhada no nosso enunciado. Se chamarmos:
Vamos ter que:
Opa, vamos primeiro encontrar :
E depois derivar , ficando com:
Show de bola, tacando tudo na inequação:
Pra esse produto ser positivo, como , necessariamente temos que ter:
Eita, caímos em outra inequação que temos que provar. Mas bem, se provarmos ela, vamos estar automaticamente provando a primeira. Então vamos lá:
Passo 3
Provar a segunda inequação
Opa, de novo aqui cabe usar o TVM. A próxima inequação pra provar é:
Oras, mas isso é exatamente o mesmo que:
Se escolhermos então:
Vamos ficar com:
Show de bola, como nós temos , é uma escolha interessante fazermos:
E, logo, vamos ter:
Opa, mas vamos lembrar de uma propriedade importante dos senos e cossenos:
Maravilha, agora é só substituir:
E pronto, tai provado. Provando a segunda inequação provamos também a primeira. Uhuul.
Passo 4
Provar que o mesmo vale usando a definição de função par
As sugestões não estão lá a toa né, então vamos primeiro provar que cada função é par. Uma função par é definida como uma função onde:
Pras duas funções na inequação, temos:
E temos também:
Então realmente temos duas funções pares. Só que funções pares são funções simétricas em relação ao eixo . Então uma vez que é uma verdade de um lado do eixo, também será do outro.
Resposta
é provado como verdadeiro.