Faça alguns exemplos ilustrando o seguinte resultado: seja f uma função contínua no intervalo I = (a, b) .

Parte 2: Se f'(x) < 0 para todo x ∈ I então f será decrescente em I

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa fazendo a seguinte afirmação

Se f ' x < 0 para todo x ∈ I então f será decrescente em I

o problema pede exemplos disso!

Para falar em exemplos, precisamos decifrar! Temos que

f ' ( x )

É a função derivada! Ela indica a taxa de crescimento ou decrescimento de uma função! Então quando a derivada de uma função é negativa em um certo intervalo, isso significa que a função é sim decrescente!

Agora vamos ver alguns exemplos disso?

Passo 2

Vamos considerar uma função exponencial com base menor do que zero

f x = 1 2 x

Sua derivada é

f ' x = - ln ⁡ 2 1 2 x

E sabemos que o domínio dessa função são todos os reais, então qualquer valor de x que substituirmos na derivada resultará em um valor negativo

Beleza?

Vou começar por x = 1

f ' 1 = - ln ⁡ 2 1 2 1 ≃ - 0,34 < 0

Ok? E agora um número negativo, como x = - 2

f ' - 2 = - ln ⁡ 2 1 2 - 2 = - ln ⁡ 2 4 ≃ - 2,7 < 0

De qualquer forma temos uma derivada negativa! Pode ser que o valor da derivada seja menor, então a taxa de decrescimento é menor, mas ela segue decrescendo!

No gráfico estão representadas as duas retas tangentes nos pontos que vimos! A reta mais à esquerda tem uma inclinação maior, mas é uma inclinação negativa. Já a reta da direita é menos íngreme, indicando que ali a função está decrescendo a uma taxa menor!

Passo 3

Um outro exemplo é uma função linear do tipo

f x = y = - 2 x + 1

Derivando temos uma constante

f ' x = - 2 < 0

E que é sempre um valor negativo, assim como a inclinação dessa curva!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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